Álgebra lineal Ejemplos

$2 x + 3 y - 3 z = 0$ , $5 x - y + 5 z = 1$ , $7 x + 2 y + 2 z = 1$

Step 1

Obtén la forma $A X = B$ del sistema de ecuaciones.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 3 \\ 5 & - 1 & 5 \\ 7 & 2 & 2 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Step 2

Obtén la inversa de la matriz de coeficientes.

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Establece una matriz que esté desglosada en dos piezas del mismo tamaño. En el lado izquierdo, completa los elementos de la matriz original. En el lado derecho, completa los elementos de la matriz de identidades. Para obtener la matriz inversa, usa operaciones de fila para convertir el lado izquierdo en la matriz de identidades. Una vez completado esto, la inversa de la matriz original estará en el lado derecho de la matriz duplicada.

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 3 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & - 1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ en $R_{1}$ (fila $1$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $1$ .

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Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación de la fila $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} & \frac{1}{2} R_{1} \\ 5 & - 1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{2}) \cdot (2) & (\frac{1}{2}) \cdot (3) & (\frac{1}{2}) \cdot (- 3) & (\frac{1}{2}) \cdot (1) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) \\ 5 & - 1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{2} R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 5 & - 1 & 5 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{2} = - 5 \cdot R_{1} + R_{2}$ en $R_{2}$ (fila $2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación de la fila $R_{2} = - 5 \cdot R_{1} + R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - 5 \cdot R_{1} + R_{2} & - 5 \cdot R_{1} + R_{2} & - 5 \cdot R_{1} + R_{2} & - 5 \cdot R_{1} + R_{2} & - 5 \cdot R_{1} + R_{2} & - 5 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 7 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 5 \cdot R_{1} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{2} = - 5 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (- 5) \cdot (1) + 5 & (- 5) \cdot (\frac{3}{2}) - 1 & (- 5) \cdot (- \frac{3}{2}) + 5 & (- 5) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (- 5) \cdot (0) + 1 & (- 5) \cdot (0) + 0 \\ 7 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 5 \cdot R_{1} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{5}{2} & 1 & 0 \\ 7 & 2 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{3} = - 7 \cdot R_{1} + R_{3}$ en $R_{3}$ (fila $3$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación de la fila $R_{3} = - 7 \cdot R_{1} + R_{3}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{5}{2} & 1 & 0 \\ - 7 \cdot R_{1} + R_{3} & - 7 \cdot R_{1} + R_{3} & - 7 \cdot R_{1} + R_{3} & - 7 \cdot R_{1} + R_{3} & - 7 \cdot R_{1} + R_{3} & - 7 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 7 \cdot R_{1} + R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{3} = - 7 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{5}{2} & 1 & 0 \\ (- 7) \cdot (1) + 7 & (- 7) \cdot (\frac{3}{2}) + 2 & (- 7) \cdot (- \frac{3}{2}) + 2 & (- 7) \cdot (\frac{1}{2}) + 0 & (- 7) \cdot (0) + 0 & (- 7) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 7 \cdot R_{1} + R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{5}{2} & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{7}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{2} = - \frac{2}{17} R_{2}$ en $R_{2}$ (fila $2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $1$ .

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Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación de la fila $R_{2} = - \frac{2}{17} R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{2}{17} R_{2} & - \frac{2}{17} R_{2} & - \frac{2}{17} R_{2} & - \frac{2}{17} R_{2} & - \frac{2}{17} R_{2} & - \frac{2}{17} R_{2} \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{7}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{17} R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{2} = - \frac{2}{17} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ (- \frac{2}{17}) \cdot (0) & (- \frac{2}{17}) \cdot (- \frac{17}{2}) & (- \frac{2}{17}) \cdot (\frac{25}{2}) & (- \frac{2}{17}) \cdot (- \frac{5}{2}) & (- \frac{2}{17}) \cdot (1) & (- \frac{2}{17}) \cdot (0) \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{7}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{17} R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{7}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{1} = - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$ en $R_{1}$ (fila $1$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación de la fila $R_{1} = - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} & - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{7}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{1} = - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3}{2}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{3}{2}) \cdot (1) + \frac{3}{2} & (- \frac{3}{2}) \cdot (- \frac{25}{17}) - \frac{3}{2} & (- \frac{3}{2}) \cdot (\frac{5}{17}) + \frac{1}{2} & (- \frac{3}{2}) \cdot (- \frac{2}{17}) + 0 & (- \frac{3}{2}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{7}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3}{2} R_{2} + R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & \frac{1}{17} & \frac{3}{17} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{2} & \frac{25}{2} & - \frac{7}{2} & 0 & 1 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{3} = \frac{17}{2} R_{2} + R_{3}$ en $R_{3}$ (fila $3$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación de la fila $R_{3} = \frac{17}{2} R_{2} + R_{3}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & \frac{1}{17} & \frac{3}{17} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ \frac{17}{2} R_{2} + R_{3} & \frac{17}{2} R_{2} + R_{3} & \frac{17}{2} R_{2} + R_{3} & \frac{17}{2} R_{2} + R_{3} & \frac{17}{2} R_{2} + R_{3} & \frac{17}{2} R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{17}{2} R_{2} + R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{3} = \frac{17}{2} R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & \frac{1}{17} & \frac{3}{17} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ (\frac{17}{2}) \cdot (0) + 0 & (\frac{17}{2}) \cdot (1) - \frac{17}{2} & (\frac{17}{2}) \cdot (- \frac{25}{17}) + \frac{25}{2} & (\frac{17}{2}) \cdot (\frac{5}{17}) - \frac{7}{2} & (\frac{17}{2}) \cdot (- \frac{2}{17}) + 0 & (\frac{17}{2}) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = \frac{17}{2} R_{2} + R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & \frac{1}{17} & \frac{3}{17} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 & - 1 & 1 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$ en $R_{3}$ (fila $3$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $1$ .

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Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con la operación de la fila $R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & \frac{1}{17} & \frac{3}{17} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} & - 1 \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$

Reemplaza $R_{3}$ (fila $3$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & \frac{1}{17} & \frac{3}{17} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ (- 1) \cdot (0) & (- 1) \cdot (0) & (- 1) \cdot (0) & (- 1) \cdot (- 1) & (- 1) \cdot (- 1) & (- 1) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{3}$

Simplifica $R_{3}$ (fila $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & \frac{1}{17} & \frac{3}{17} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{1} = - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1}$ en $R_{1}$ (fila $1$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con la operación de la fila $R_{1} = - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1} & - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1} & - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1} & - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1} & - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1} & - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1}$

Reemplaza $R_{1}$ (fila $1$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{1} = - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{17}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{17}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{1}{17}) \cdot (0) + \frac{12}{17} & (- \frac{1}{17}) \cdot (1) + \frac{1}{17} & (- \frac{1}{17}) \cdot (1) + \frac{3}{17} & (- \frac{1}{17}) \cdot (- 1) + 0 \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{17} R_{3} + R_{1}$

Simplifica $R_{1}$ (fila $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & 0 & \frac{2}{17} & \frac{1}{17} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & \frac{5}{17} & - \frac{2}{17} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 \end{array}]$

Realiza la operación de fila $R_{2} = - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2}$ en $R_{2}$ (fila $2$ ) para convertir algunos elementos en la fila a $0$ .

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Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con la operación de la fila $R_{2} = - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2}$ para convertir algunos elementos en la fila al valor deseado $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & 0 & \frac{2}{17} & \frac{1}{17} \\ - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2} & - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2} & - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2} & - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2} & - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2} & - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2}$

Reemplaza $R_{2}$ (fila $2$ ) con los valores reales de los elementos para la operación de la fila $R_{2} = - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & 0 & \frac{2}{17} & \frac{1}{17} \\ (- \frac{5}{17}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{5}{17}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{5}{17}) \cdot (0) - \frac{25}{17} & (- \frac{5}{17}) \cdot (1) + \frac{5}{17} & (- \frac{5}{17}) \cdot (1) - \frac{2}{17} & (- \frac{5}{17}) \cdot (- 1) + 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{5}{17} R_{3} + R_{2}$

Simplifica $R_{2}$ (fila $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{12}{17} & 0 & \frac{2}{17} & \frac{1}{17} \\ 0 & 1 & - \frac{25}{17} & 0 & - \frac{7}{17} & \frac{5}{17} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & - 1 \end{array}]$

Como el determinante de la matriz es cero, no hay inversa.

No hay inversa

Step 3

Como la matriz no tiene inversa, no puede resolverse mediante la matriz inversa.

No hay solución